第五讲 功、功率、动能定理
一、单项选择题
1．(改编题) 2010年6月在南非世界杯足球赛中，足球运动员奋力将质量为m的足球以初速度v0抛出，v0与水平面成α角，足球到达的最大高度为h，如图，不计空气阻力和抛出点的高度，则运动员踢足球过程对足球做的功正确的是( )
A.mv20 B．mgh
C．mgh＋mv20cosα D．mgh＋mv20sin2α
解析：选A.由动能定理知，运动员对足球做的功，增加了足球的动能，又因在最高点足球的水平分速度等于v0cosα，从A到B应用动能定理知：
－mgh＝mv20cos2α－mv20
因W＝mv20
所以W＝mv20cos2α＋mgh
故只有选项A正确．
2．(2011年高考山东卷) 如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇(不计空气阻力)．则( )
A．两球同时落地
B．相遇时两球速度大小相等
C．从开始运动到相遇，球a动能的减少量等于球b动能的增加量
D．相遇后的任意时刻，重力对球a做功功率和对球b做功功率相等
解析：选C.对b球，由＝gt2得t＝，vb＝gt＝.以后以初速度匀加速下落．对a球，＝v0t－gt2得v0＝，在处，va＝v0－gt＝0，以后从处自由下落．故落地时间tbPa，选项D错误．
3．(2011年浙江嘉兴模拟)如图所示是全球最高的(高度208米)北京朝阳公园摩天轮，一质量为m的乘客坐在摩天轮中以速率v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻乘客在轨迹最低点且重力势能为零，那么，下列说法错误的是( )
A．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR
B．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为mg－m
C．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝mv2
D．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝mv2＋mgR
解析：选C.在最高点，根据牛顿第二定律可得，mg－FN＝m，受到座位的支持力为FN＝mg－m，B项正确；由于乘客在竖直平面内做匀速圆周运动，其动能不变，重力势能发生变化，所以乘客在运动的过程中机械能不守恒，C项错误；在时间t内转过的弧度为t，所以对应t时刻的重力势能为Ep＝mgR，总的机械能为E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgR，A、D两项正确．
4. (2011年北京西城抽样)如图所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动．通过力传感器和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图甲、乙所示．取g＝10 m/s2.则下列说法不正确的是( )
A．物体的质量m＝0.5 kg
B．物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.20
C．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2.0 J
D．前2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
解析：选B.由图乙知，在0～1 s时间内，物体没有被推动；在2～3 s时间内为匀速运动，故得物体所受摩擦力为Ff＝2 N．在1～2 s时间内为加速运动，加速度a＝2 m/s2，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma，所以m＝＝ kg＝0.5 kg，选项A对；动摩擦因数μ＝＝＝0.4，B错；第2 s内物体位移为s＝at2＝×2×12 m＝1 m，故物体克服摩擦力做的功W＝Ffs＝2×1 J＝2 J，C对；前2 s内推力F做功的平均功率＝＝＝ W＝1.5 W，故选项D对．
5．(2011年江西南昌调研)某汽车在平直公路上以功率P、速度v0匀速行驶时，牵引力为F0.在t1时刻，司机减小油门，使汽车的功率减为P/2，此后保持该功率继续行驶，t2时刻，汽车又恢复到匀速运动状态．下面是有关汽车牵引力F、速度v的几种说法，其中正确的是( )
A．t2后的牵引力仍为F0
B．t2后的牵引力小于F0
C．t2后的速度仍为v0
D．t2后的速度大于v0
解析：选A.由P＝Fv可知，当汽车的功率突然减小P/2时，瞬时速度还没来得及变化，则牵引力突然变为F0/2，汽车将做减速运动，随着速度的减小，牵引力逐渐增大，汽车做加速度逐渐减小的减速运动，当速度减小到使牵引力又等于阻力时，汽车再匀速运动，可见只有A正确．
6．(2010年高考课标全国卷改编) 如图所示，在外力作用下某质点运动的图象为正弦曲线．从图中可以判断( )
A．在0～t1时间内，外力做正功
B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大
C．在t2时刻，外力的功率最大
D．在t1～t3时间内，外力做的总功不为零
解析：选A.由动能定理可知，在0～t1时间内质点速度越来越大，动能越来越大，外力一定做正功，故A项正确；在t1～t3时间内，动能变化量为零，可以判定外力做的总功为零，故D项错；由P＝F·v知0、t1、t2、t3四个时刻功率为零，故B、C都错．
7．(2011年南京二模) 如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑的水平面上．质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端，现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速运动，物块和小车之间的滑动摩擦力为Ff.物块滑到小车最右端时，小车运动的距离为s，在这个过程中，以下结论正确的是( )
A．物块到达小车最右端时具有的动能为F(L＋s)
B．物块到达小车最右端时，小车具有的动能为FfL
C．物块克服摩擦力所做的功为Ff(L＋s)
D．物块克服摩擦力所做的功为Ffs
解析：选C.物体获得的动能等于合外力对物体所做功，而在功的公式W＝Fs中位移s应是物体对地发生的位移，C正确，A、D错误；摩擦力对小车做的功应为Ffs，B错误．
8．小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h处时，小球的动能是势能的两倍，在下落至离地高度h处，小球的势能是动能的两倍，则h等于( )
A．H/9 B．2H/9
C．3H/9 D．4H/9
解析：选D.设上升到离地面高h处时的动能为Ek1，则Ek1＝2 mgh，则从h高处上升到H高处，由动能定理得：
－(mg＋Ff)(H－h)＝0－Ek1＝0－2mgh①
下落至离地高度h处，动能Ek2＝mgh，则从高H处下落至高h处，由动能定理得：
(mg－Ff)(H－h)＝Ek2＝mgh②
由①②得h＝H，选D.
9．(2011年吉林通化模拟) 如图所示，小球从A点以初速度v0沿粗糙斜面向上运动，到达最高点B后返回，C为AB的中点．下列说法中不正确的是( )
A．小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，外力做功为零
B．小球从A到C与从C到B的过程，减少的动能相等
C．小球从A到C与从C到B的过程，速度的变化率相等
D．小球从A到C与从C到B的过程，损失的机械能相等
解析：选A.小球从A出发到返回A的过程中，位移为零，重力做功为零，但有摩擦力做负功，选项A错误；因为C为AB的中点，小球从A到C与从C到B的过程合外力恒定，加速度恒定，速度的变化率相等，选项C正确；又因为重力做功相等，摩擦力做功相等，则合外力做功相等，故减少的动能相等，损失的机械能相等，选项B、D正确．
二、非选择题
10．(2010年高考四川理综卷)质量为M的拖拉机拉着耙来耙地，由静止开始做匀加速直线运动，在时间t内前进的距离为s.耙地时，拖拉机受到的牵引力恒为F，受到地面的阻力为自重的k倍，耙所受阻力恒定，连接杆质量不计且与水平面的夹角θ保持不变．求：
(1)拖拉机的加速度大小．
(2)拖拉机对连接杆的拉力大小．
(3)时间t内拖拉机对耙做的功．
解析：(1)由匀变速直线运动的公式：s＝at2 ①
得：a＝. ②
(2)设连接杆对拖拉机的拉力为f，由牛顿第二定律得：
F－kMg－f cosθ＝Ma ③
根据牛顿第三定律，联立②③式，解得拖拉机对连接杆的拉力大小为：
f′＝f＝[F－M(kg＋)]． ④
(3)拖拉机对耙做的功：
W＝f′ s cosθ ⑤
联立④⑤式，解得：
W＝[F－M(kg＋)]s.
答案：(1) (2)[F－M(kg＋)]
(3)[F－M(kg＋)]s
11.
(2011年押题卷)如图所示为放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成，其中水平直轨AB与倾斜直轨CD长均为L＝6 m，圆弧形轨道AQC和BPD均光滑，AQC的半径为r＝1 m，AB、CD与两圆弧形轨道相切，O2D、O1C与竖直方向的夹角均为θ＝37°.现有一质量为m＝1 kg的小球穿在滑轨上，以Ek0＝24 J的初动能从B点开始水平向左运动，小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为μ＝，设小球经过轨道连接处均无能量损失．(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)小球第二次到达C点时的动能；
(2)小球在CD段上运动的总路程．
解析：(1)设小球第二次到达C点时的动能为EkC，根据动能定理有mgr(1＋cosθ)－μmgL－2μmgLcosθ＝EkC－Ek0，解得EkC＝16 J.
(2)小球第二次到达C点时的动能为16 J，而继续上升到达到A点还需克服重力做mgr(1＋cosθ)＝18 J的功，因此小球无法到达A点，而是滑到AQC某处后开始滑下，之后由于受滑动摩擦力的作用，上升高度越来越低，小球最终只能在圆弧形轨道FED(O2F与O2E的夹角为θ，即O2F与O2D关于O2E对称)上做往复运动，即到达D点时动能为零，根据动能定理有mgLsinθ－μmgscosθ＝－EkC，可得小球在倾斜直轨CD上通过的路程为s＝39 m，小球通过CD段的总路程为s′＝2L＋s＝51 m.
答案：(1)16 J (2)51 m
12．(2011年高考浙江卷)节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m＝1000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1＝90 km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50 kW.当驾驶员看到前方有80 km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L＝72 m后，速度变为v2＝72 km/h.此过程中发动机功率的用于轿车的牵引，用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求：
(1)轿车以90 km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
(2)轿车从90 km/h减速到72 km/h过程中，获得的电能E电；
(3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72 km/h匀速运动的距离L′.
解析：(1)轿车牵引力与输出功率的关系P＝F牵v
将P＝50 kW，v1＝90 km/h＝25 m/s代入得
F牵＝＝2×103 N.
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
F阻＝2×103 N.
(2)在减速过程中，注意到发动机只有P用于汽车的牵引．
根据动能定理有Pt－F阻L＝mv－mv
代入数据得Pt＝1.575×105 J
电源获得的电能为E电＝50%×Pt＝6.3×104 J.
(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F阻＝2×103 N．在此过程中，由能量守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，则E电＝F阻L′
代入数据得L′＝31.5 m.
答案：(1)2×103 N (2)6.3×104 J (3)31.5 m
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