第六讲 动量和能量的综合应用
一、单项选择题
1. (2011年北京西城区抽样)如图所示，运动员挥拍将质量为m的网球击出．如果网球被拍子击打前、后瞬间速度的大小分别为v1、v2，v1与v2方向相反，且v2＞v1.重力影响可忽略，则此过程中拍子对网球作用力的冲量( )
A．大小为m(v2＋v1)，方向与v1方向相同
B．大小为m(v2－v1)，方向与v1方向相同
C．大小为m(v2＋v1)，方向与v2方向相同
D．大小为m(v2－v1)，方向与v2方向相同
解析：选C.由动量定理知，拍子对网球作用力的冲量I合＝Δmv＝mv2－m(－v1)＝m(v2＋v1)，方向与v2相同．故C对．
2．(2010年高考福建理综卷)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )
A．t1时刻小球动能最大
B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
解析：选C.0～t1时间内小球做自由落体运动，落到弹簧上并往下运动的过程中，小球重力与弹簧对小球弹力的合力方向先向下后向上，故小球先加速后减速，t2时刻到达最低点，动能为0，A、B错；t2～t3时间内小球向上运动，合力方向先向上后向下，小球先加速后减速，动能先增加后减少，C对；t2～t3时间内由能量守恒知小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能减去小球增加的重力势能，D错．
3. (2010年高考福建理综卷)如图所示，一个木箱原来静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的底板上放着一个小木块．木箱和小木块都具有一定的质量．现使木箱获得一个向右的初速度v0，则下列说法正确的是( )
A．小木块和木箱最终都将静止
B．小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动
C．小木块在木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动
D．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动
解析：选B.木箱和小木块具有向右的动量，并且在相互作用的过程中总动量守恒，A、D错；由于木箱与底板间存在摩擦，小木块最终将相对木箱静止，B对、C错．
4．(2011年黄冈重点中学模拟)在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率相向而行，并发生碰撞，下列现象可能的是( )
a．若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开
b．若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行
c．若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开
d．若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行
A．ac B．cd
C．bc D．bd
解析：选B.相互作用的过程中合外力为零，所以碰撞过程中动量守恒，设碰撞前动量分别为p1、p2，碰后两球动量分别为p3、p4，则有p1＋p2＝p3＋p4，若m1＝m2，碰前动量和为零碰后动量和必定为零，即p3与p4必定大小相等，方向相反，若m1≠m2，碰前动量和不为零，碰后两球的合动量必定与碰前总动量相等，所以碰后以某一相等速率互相分开是不可能的，而碰后以某一相等速率同向而行是可以的，故B正确．
5. (2011年福建质检)为了探究能量转化和守恒规律，小强将一个小铁块绑在橡皮筋中部，并让橡皮筋穿入铁罐，两端分别固定在罐盖和罐底上，如图所示，盖好盖后，让该装置从不太陡的粗糙斜面上的A处滚下，到斜面上的B处停下，发现橡皮筋被卷紧了，接着铁罐居然能从B处自动滚上去．关于该装置在上述过程中的能量转化，下列判断正确的是( )
A．从A处滚到B处，由动能定理可知，系统的重力势能全部转化为橡皮筋的弹性势能
B．从A处滚到B处，由于要转化为橡皮筋的弹性势能，故系统的重力做的功小于摩擦力做的功
C．从B处滚到最高处，橡皮筋的弹性势能转化为系统的重力势能和此过程产生的内能
D．从B处滚到最高处，橡皮筋的弹性势能转化为系统的重力势能和动能
解析：选C.在铁罐滚动时，铁罐与斜面的接触点的瞬时速度为零，则斜面对铁罐的静摩擦力不做功，在从A到B的过程中橡皮筋发生了扭转形变，在获得弹性势能的同时也产生了内能，由能量守恒可知，系统减少的重力势能等于橡皮筋获得的弹性势能与产生的内能之和，故A、B皆错误．同理可知C正确、D错误．
6．一个质量为m的带电小球，在存在匀强电场的空间以某一水平初速度抛出，不计空气阻力，测得小球的加速度为，方向竖直向下，则在小球下落h高度的过程中，下列说法错误的是( )
A．小球的动能增加mgh
B．小球的电势能增加mgh
C．小球的重力势能减少mgh
D．小球的机械能减少mgh
解析：选C.小球受到竖直向下的重力mg，由小球的加速度为、方向竖直向下，知电场力方向竖直向上、大小为mg，合力为mg.由于在小球下落h高度的过程中，重力做的功为mgh，电场力做的功为－mgh，合力做的功为mgh，因此，小球的动能增加mgh，小球的电势能增加mgh，小球的重力势能减少mgh，小球的机械能减少mgh，故选项A、B、D正确，C错误．
7．A、B两球在光滑水平面上沿同一直线运动，A球动量为pA＝5 kg·m/s，B球动量为pB＝7 kg·m/s，当A球追上B球时发生碰撞，则碰后A、B两球的动量可能是( )
①pA＝6 kg·m/s、pB＝6 kg·m/s
②pA＝3 kg·m/s、pB＝9 kg·m/s
③pA＝－2 kg·m/s、pB＝14 kg·m/s
④pA＝－5 kg·m/s、pB＝17 kg·m/s
A．①②③ B．①②④
C．②③ D．①④
解析：选C.动量守恒四个选项都满足，那么第二个判断依据是速度情景：A的动量不可能原方向增大，①错；第三个判断依据是能量关系：碰后系统总动能只能小于等于碰前总动能．计算得②、③正确④错．碰前总动能为Ek＝＋，由于pA＝mAvA＝5 kg·m/s，pB＝mBvB＝7 kg·m/s，A要追上B，则有vA>vB，即>，mA<mB.对②，有＋≤＋，得mB＝2mA，满足mA<mB，②正确；对③，有＋≤＋，mB＝mA＝mA，同样满足mA<mB，③正确．
8. 在质量为M的小车中挂有一单摆，摆的质量为m0，小车和单摆以恒定的速度v沿光滑水平地面向右运动，与位于正对面的质量为m的静止木块发生碰撞，碰撞时间极短，如图所示．在此碰撞过程中，下列哪种说法是可能发生的( )
A．小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足(M＋m0)v＝Mv1＋mv2＋m0v3
B．摆球的速度不变，小车和木块的速度分别变为v1和v2，满足Mv＝Mv1＋mv2
C．小车和摆球的速度都变为v1，木块的速度变为v2，满足(M＋m0)v＝(M＋m0)v1＋mv2
D．以上说法都不对
解析：选B.小车与物体碰撞过程中，小球的速度来不及变化，因为碰撞过程极短，小球在水平方向不受力，所以由于惯性小球在水平方向速度不变．只是M与m相互作用，碰撞过程中M、m速度发生变化，故B可能发生．
9. 如图所示，三小球a、b、c的质量都是m，都放于光滑的水平面上，小球b、c与轻弹簧相连且静止，小球a以速度v0冲向小球b，碰后与小球b粘在一起运动．在与小球b粘在一起后的运动过程中，下列说法正确的是( )
A．三小球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能不守恒
B．三小球与弹簧组成的系统总动量守恒，总机械能也守恒
C．当小球b、c速度相等时，弹簧势能最小
D．当弹簧恢复原长时，小球c的动能一定最大，小球b的动能一定为零
解析：选B.a、b两小球相碰，动量守恒，机械能不守恒，之后系统动量守恒，机械能也守恒，因而A错误，B正确．由牛顿运动定律分析可知：小球b、c速度相等时，弹簧的压缩量最大，即弹簧势能最大，C错误．当弹簧恢复原长时，将弹簧的弹性势能转化为三个小球的动能，由机械能守恒定律和动量守恒定律可知：D错误．
二、非选择题
10.
(2010年高考天津卷)如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h.物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ.现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰(碰撞时间极短)，反弹后上升至最高点时到水平面的距离为.小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t.
解析：设小球的质量为m，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点时重力势能为零，根据机械能守恒定律，有mgh＝mv21①
得v1＝
设碰撞后小球反弹的速度大小为v′1，同理有
mg＝mv′21②
得v′1＝
设碰后物块的速度大小为v2，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有mv1＝－mv′1＋5mv2③
得v2＝ ④
物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小
Ff＝5μmg⑤
设物块在水平面上滑行的时间为t，根据动量定理，有
－Fft＝0－5mv2⑥
得t＝.
答案：
11．(2011年高考天津卷)
如图所示，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直．直径略小于圆管内径的小球A以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M时与静止于该处的质量与A相同的小球B发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N为2R.重力加速度为g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
(1)粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；
(2)小球A冲进轨道时速度v的大小．
解析：(1)粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向的分运动为自由落体运动，有
2R＝gt2①
解得t＝2②
(2)设球A的质量为m，碰撞前速度大小为v1，把球A冲进轨道最低点时的重力势能定为0，由机械能守恒定律得
mv2＝mv＋2mgR③
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为v2，由动量守恒定律得
mv1＝2mv2④
飞出轨道后做平抛运动，水平方向的分运动为匀速直线运动，有2R＝v2t⑤
综合②③④⑤式得v＝2
答案：(1)2 (2)2
12．(2011年山东青岛模拟)如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面的底端有一个固定挡板D，小物体C靠在挡板D上，小物体B与C用轻质弹簧拴接．当弹簧处于自然长度时，B在O点；当B静止时，B在M点，OM＝l.在P点还有一小物体A，使A从静止开始下滑，A、B相碰后一起压缩弹簧．A第一次脱离B后最高能上升到N点，ON＝1.5l.B运动还会拉伸弹簧，使C物体刚好能脱离挡板D.A、B、C的质量都是m.重力加速度为g.求
(1)弹簧的劲度系数；
(2)弹簧第一次恢复到原长时B速度的大小；
(3)M、P之间的距离．
解析：
(1)B静止时，弹簧形变量为l，弹簧产生弹力F＝kl，B物体受力如图所示，根据物体平衡条件得
kl＝mgsinθ
得弹簧的劲度系数k＝.
(2)当弹簧第一次恢复原长时A、B恰好分离，设此时A、B速度的大小为v3.
对A物体，从A、B分离到A速度变为0的过程，根据机械能守恒定律得mv23＝mgΔh
此过程中A物体上升的高度Δh＝1.5lsinθ
得v3＝ .
(3)设与B相碰前A的速度的大小为v1，与B相碰后A的速度的大小为v2，M、P之间距离为x.对A物体，从开始下滑到A、B相碰的过程，根据机械能守恒定律得mgxsinθ＝mv21
A与B发生碰撞，根据动量守恒定律得
mv1＝(m＋m)v2
设B静止时弹簧的弹性势能为Ep，从A、B开始压缩弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，根据机械能守恒定律得
(m＋m)v22＋Ep＝(m＋m)v23＋(m＋m)glsinθ
B物体的速度变为0时，C物体恰好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为l，弹簧的弹性势能也为Ep.对B物体和弹簧，从A、B分离到B速度变为0的过程，根据机械能守恒定律得
mv23＝mglsinθ＋Ep
联立以上各式解得x＝9l.
答案：(1) (2) (3)9l
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