3．匀变速直线运动的位移与时间的关系
基础夯实
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( )
A．物体的末速度一定与时间成正比
B．物体的位移一定与时间的平方成正比
C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比
D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；
若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小
答案：C
解析：根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，A、B选项不正确，由a＝可知，C正确。当物体做匀减速运动时，速度减小但位移可以增大。
2．(常熟市11～12学年高一上学期期中)汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车后6s内汽车通过的位移之比为( )
A．1:1 B．3:1
C．3:4 D．4:3
答案：C
解析：汽车停止所用时间t2＝＝4s
所以刹车后2s内与6s内汽车通过的位移之比为
＝＝
3．(河北衡水中学11～12学年高一上学期检测)一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间，它经过第二 根电线杆时的速度为15m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )
A．2m/s B．10m/s
C．2.5m/s D．5m/s
答案：D
解析：＝＝
即m/s＝
得v0＝5m/s，所以D选项正确。
4．(厦门大学附属科技中学11～12学年高一上学期期末)甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动
B．两物体两次相遇的时刻分别为2s末和6s末
C．乙在前4s内的平均速度等于甲的速度
D．2s后甲、乙两物体的速度方向相反
答案：B
5．飞机的起飞过程是从静止出发，在直跑道上加速前进，等达到一定速度时离地。已知飞机加速前进的路程为1600m，所用的时间为40s，假设这段时间内的运动为匀加速运动，用a表示加速度，v表示离地时的速度，则( )
A．a＝2m/s2，v＝80m/s B．a＝1m/s2，v＝40m/s
C．a＝80m/s2，v＝40m/s D．a＝1m/s2，v＝80m/s
答案：A
解析：由x＝at2得a＝＝m/s2＝2m/s2，由x＝t＝t得v＝＝m/s＝80m/s。
6．一辆沿平直路面行驶的汽车(如图所示)，速度为36km/h，刹车后获得加速度的大小是4m/s2，求：
(1)刹车后3s末的速度；
(2)从开始刹车至停止，汽车滑行的距离。
答案：(1)0 (2)12.5m
解析：汽车刹车后做匀减速滑行，其初速度v0＝36km/h＝10m/s，v＝0，加速度a＝－4m/s2，设刹车滑行ts后停止，滑行距离为x。
(1)由速度公式v1＝v0＋at得滑行时间
t＝＝s＝2.5s
即刹车后经过2.5s停止，所以3s末的速度为零。
(2)由位移公式得滑行距离x为x＝v0t＋at2＝10×2.5m＋×(－4)×2.52m＝12.5m。
7．(临汾一中11～12学年高一上学期期中)一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3s，通过BC两相邻的树用了2s，求汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多少？
答案：1m/s2 6.5m/s
解析：汽车经过树A时的速度为vA，加速度为a。
对AB段运动，由x＝v0t＋at2有：15＝vA×3＋a×32
同理，对AC段运动，有30＝vA×5＋a×52
两式联立解得：vA＝3.5m/s，a＝1m/s2
再由vt＝v0＋at
得：vB＝3.5m/s＋1×3m/s＝6.5m/s
8．一个滑雪的人，从85m长的山坡上匀变速直线滑下(如下图所示)，初速度是1.8m/s，末速度是5.0m/s，他通过这段山坡需要多长时间？
答案：25s
解析：滑雪的运动可以看作是匀加速直线运动，可以利用匀变速直线运动的规律来求，已知量为初速度v0，末速度vt和位移x，待求量是时间t，我们可以用不同的方法求解。
解法Ⅰ：利用公式vt＝v0＋at①和x＝v0t＋at2②求解。
由①式得v0＝vt－at代入②式得x＝vtt－at2③将②式与③式相加得2x＝v0t＋vtt所以，需要的时间
t＝＝＝25s
解法Ⅱ：利用平均速度的公式
＝和x＝t求解。
平均速度＝＝＝3.4m/s
由x＝t得，需要的时间t＝＝＝25s。
能力提升
1．由静止开始做匀加速运动的汽车，头一秒内通过0.4m路程，有以下说法：
①第1s末的速度为0.8m/s
②加速度为0.8m/s2
③第2s内通过的路程为1.2m
④前2s内通过的路程为1.2m
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①②③④ D．①②④
答案：A
解析：设加速度为a，则由x＝at2得a＝＝0.8m/s2
所以第1秒末速度v1＝a·1＝0.8(m/s)
第2秒内通过路程为
x2＝a·22－a·12＝1.2(m)
故①、②、③正确，④错误，即A选项正确，其余均错误。
2．(成都外国语学校11～12学年高一上学期期中)两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v－t图如图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆( )
答案：AC
解析：根据图线和时间坐标轴所围的“面积”在数值上等于位移的大小可判定A、C选项正确。
3．(河北正定中学11～12学年高一上学期检测)一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2s，整列车厢通过他历时6s，则这列火车的车厢有( )
A．3节 B．6节
C．9节 D．12节
答案：C
解析：设一节车厢长为L，则L＝at
nL＝at，将t1＝2s，t2＝6s代入上面两式
解得n＝9
4．矿井里的升降机，由静止开始匀加速上升，经过5s速度达到4m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，经过4s停在井口，则矿井的深度为______m。
答案：98m
解析：因为升降机从井底到井口的运动分为三个阶段：匀加速、匀速、匀减速
解法一：(1)匀加速上升阶段 a1＝＝0.8m/s2
h1＝a1t＝×0.8×52m＝10m
(2)匀速上升阶段h2＝vt2＝4×20m＝80m
(3)匀减速上升阶段a3＝＝m/s＝1m/s2
h3＝a3t＝×1×42m＝8m
所以矿井深度h＝h1＋h2＋h3＝(10＋80＋8)m＝98m
解法二：本题如用平均速度来解就不用求a1，a3，而只要根据＝，s＝t就可求解。
(1)匀加速上升阶段h1＝1t1＝t1＝×5m＝10m
(2)匀速上升阶段h2＝v2t2＝4×20m＝80m
(3)匀减速上升阶段h3＝3t3＝t3＝×4m＝8m。
所以矿井深度
h＝h1＋h2＋h3＝10m＋80m＋8m＝98m。
5．(山东潍坊11～12学年高一上学期调研)一辆长途客车正在以v＝20m/s的速度匀速行驶， 突然，司机看见车的正前方x＝45m处有一只小狗(图甲)，司机立即采取制动措施。从司机看见小狗到长途客车开始做匀减速直线运动的时间间隔Δt＝0.5s。若从司机看见小狗开始计时(t＝0)，该长途客车的速度—时间图象如图乙所示。求：
(1)长途客车在Δt时间内前进的距离；
(2)长途客车从司机发现小狗至停止运动的这段时间内前进的距离；
(3)根据你的计算结果，判断小狗是否安全。如果安全，请说明你判断的依据；如果不安全，有哪些方式可以使小狗安全。
答案：(1)10m (2)50m (3)不安全
解析：(1)公共汽车在司机的反应时间内前进的距离x1＝vΔt＝10m
(2)公共汽车从司机发现小狗至停止的时间内前进的距离
x2＝x1＋vt/2＝50m
(3)因为x2>x，所以小狗不安全。
若要小狗不发生危险，可以采用如下的一些方式：
①小狗沿车的前进方向在4.5s内跑出5m以上的距离。
②小狗沿垂直运动的方向在4.5s内跑出的距离超过车的宽度。
6．(河北唐山一中09～10学年高一上学期期中)如图所示，公路上一辆汽车以v1＝10m/s的速度匀速行驶，汽车行至A点时，一人为搭车，从距公路30m的C处开始以v2＝3m/s的速度正对公路匀速跑去，司机见状途中刹车，汽车做匀减速运动，结果人到达B点时，车也恰好停在B点。已知AB＝80m，问：汽车在距A多远处开始刹车，刹车后汽车的加速度有多大？
答案：60m 2.5m/s2
解析：人、车到达B点所用时间t＝30/3s＝10s
设汽车匀速运动时间为t1，s＝v1t1＋(10－t1)v1/2
t1＝6s
汽车刹车处离A点L＝v1t1＝60m
刹车加速度a＝v1/(10－t1)＝2.5m/s2。
7．从车站开出的汽车，做匀加速运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，总共历时20s，行进了50m，求汽车的最大速度。
答案：5m/s
解析：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最高速度后，立即改做匀减速运动，可以应用解析法，也可以应用图象法。
解法1：设最高速度为vm，由题意，可得方程组
x＝a1t＋vmt2－a2t
vm＝a1t1,0＝vm－a2t2
整理得vm＝＝m/s＝5m/s
解法2：应用图象法，做出运动全过程的v－t图象如下图所示，v－t图线与t轴围成三角形的面积与位移等值，故
x＝，vm＝＝＝m/s＝5m/s。
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